Что такое проекция скорости движения. Равнопеременное прямолинейное движение. Вращательное движение твердого тела

Вектор скорости характеризует перемещение тела, показывая направление и быстроту перемещения в пространстве. Скорость как функция есть первой производной от уравнения координаты.

Производная от скорости даст ускорение.

Вопрос «И всё-таки! Что показалось первым?

Яйцо либо курица?» — 12 ответов
Инструкция
1
Сам по себе заданный вектор ничего не дает в плане математического описания перемещения, исходя из этого его разглядывают в проекциях на координатные оси. Это возможно одна координатная ось (луч), две (плоскость) либо три (пространство).

Дабы отыскать проекции, необходимо опустить перпендикуляры из финишей вектора на оси.
2
Проекция представляет собой как бы «тень» вектора.

В случае если тело движется перпендикулярно разглядываемой оси, проекция выродится в точку и будет иметь нулевое значение. При перемещении параллельно координатной оси проекция сходится с модулем вектора.

И в то время, когда тело движется так, что его вектор скорости направлен под некоторым углом? к оси x, проекция на ось x будет отрезком: V(x)=V cos(?), где V – модуль вектора скорости. Проекция хороша, в то время, когда направление вектора скорости сходится с хорошим направлением координатной оси, и отрицательна в обратном случае.

3
Пускай перемещение точки задано координатными уравнениями: x=x(t), y=y(t), z=z(t). Тогда функции скорости, спроецированной на три оси, будут иметь вид, соответственно, V(x)=dx/dt=x"(t), V(y)=dy/dt=y"(t), V(z)=dz/dt=z"(t), другими словами для нахождения скорости необходимо забрать производные.

Сам вектор скорости будет выражаться уравнением V=V(x) i+V(y) j+V(z) k, где i, j, k – единичные векторы координатных осей x, y, z. Модуль скорости возможно вычислить по формуле V=v(V(x)^2+V(y)^2+V(z)^2).
4
Через направляющие единичные вектора отрезки и косинусы скорости координатных осей возможно задать направление вектору, отбросив его модуль.

Для точки, которая движется в плоскости, достаточно двух координат, x и y. В случае если тело совершает перемещение по окружности, направление вектора скорости непрерывно изменяется, а модуль может как сберигаться постоянным, так и изменяться во времени.

Как записать проекцию вектора на оси координат — bezbotvy

Определение

Равномерное прямолинейное движение -- это движение с постоянной скоростью, при котором ускорение отсутствует, а траектория движения представляет собой прямую линию.

Скорость равномерного прямолинейного движения не зависит от времени и в каждой точке траектории направлена так же, как и перемещение тела. То есть вектор перемещения совпадает по направлению с вектором скорости. При этом средняя скорость за любой промежуток времени равна мгновенной скорости: $\left\langle v\right\rangle =v$

Определение

Скорость равномерного прямолинейного движения -- это физическая векторная величина, равная отношению перемещения тела $\overrightarrow{S}$ за любой промежуток времени к значению этого промежутка t:

$$\overrightarrow{v}=\frac{\overrightarrow{S}}{t}$$

Таким образом, скорость равномерного прямолинейного движения показывает, какое перемещение совершает материальная точка за единицу времени.

Перемещение при равномерном прямолинейном движении определяется формулой:

$$ \overrightarrow{S} = \overrightarrow{v} \cdot t $$

Пройденный путь при прямолинейном движении равен модулю перемещения. Если положительное направление оси ОХ совпадает с направлением движения, то проекция скорости на ось ОХ равна величине скорости и положительна: $v_x = v$, то есть $v $>$ 0$

Проекция перемещения на ось ОХ равна: $s = v_t = x - x0$

где $x_0$ - начальная координата тела, $х$ - конечная координата тела (или координата тела в любой момент времени)

Уравнение движения, то есть зависимость координаты тела от времени $х = х(t)$, принимает вид: $х = x_0 + v_t$

Если положительное направление оси ОХ противоположно направлению движения тела, то проекция скорости тела на ось ОХ отрицательна, скорость меньше нуля ($v $

Зависимость проекции скорости тела от времени показана на рис. 1. Так как скорость постоянна ($v = const$), то графиком скорости является прямая линия, параллельная оси времени Ot.

Рис. 1. Зависимость проекции скорости тела от времени при равномерном прямолинейном движении.

Проекция перемещения на координатную ось численно равна площади прямоугольника ОАВС (рис. 2), так как величина вектора перемещения равна произведению вектора скорости на время, за которое было совершено перемещение.

Рис. 2. Зависимость проекции перемещения тела от времени при равномерном прямолинейном движении.

График зависимости перемещения от времени показан на рис. 3. Из графика видно, что проекция скорости на ось Ot численно равна тангенсу угла наклона графика к оси времени:

Рис. 3. Зависимость проекции перемещения тела от времени при равномерном прямолинейном движении.

Зависимость координаты от времени показана на рис. 4. Из рисунка видно, что

tg $\alpha $1 $>$ tg $\alpha $2, следовательно, скорость тела 1 выше скорости тела 2 (v1 $>$ v2).

tg $\alpha $3 = v3 $

Рис. 4. Зависимость координаты тела от времени при равномерном прямолинейном движении.

Если тело покоится, то графиком координаты является прямая, параллельная оси времени, то есть х = х0

Задача 1

Два поезда движутся на встречу друг другу по параллельным рельсам. Скорость первого поезда 10 метров в секунду, длина первого поезда 500 метров. Скорость второго поезда 30 метров в секунду, длина второго поезда 300 метров. Определить в течение какого времени второй поезд будет ехать мимо первого.

Дано: $v_1$=10 м/с; $v_2$=30 м/с; $L_1$=500 м; $L_2$=300 м

Найти: t --- ?

Время, в течение которого поезда будут проходить мимо друг друга, можно определить, разделив общую длину поездов на их относительную скорость. Скорость первого поезда относительно второго определяется по формуле v= v1+v2 Тогда формула для определения времени принимает вид: $t=\frac{L_1+L_2}{v_1+v_2}=\frac{500+300}{10+30}=20\ c$

Ответ: второй поезд будет ехать мимо первого в течение 20 секунд.

Задача 2

Определить скорость течения реки и скорость катера в стоячей воде, если известно, что катер проходит расстояние 300 километров по течению за 4 часа, а против течения -- за 6 часов.

Дано: $L$=300000 м; $t_1$=14400 с; $t_2$=21600 с

Найти: $v_p$ - ?; $v_k$ - ?

Скорость катера по течению реки относительно берега $v_1=v_k+v_p$, а против течения $v_2=v_k-v_p$ . Запишем закон движения для обоих случаев:

Решив уравнения относительно vp и vk, получаем формулы для расчета скорости течения реки и скорости катера.

Скорость течения реки: $v_p=\frac{L\left(t_2-t_1\right)}{2t_1t_2}=\frac{300000\left(21600-14400\right)}{2\times 14400\times 21600}=3,47\ м/с$

Скорость катера: $v_к=\frac{L\left(t_2+t_1\right)}{2t_1t_2}=\frac{300000\left(21600+14400\right)}{2\times 14400\times 21600}=17,36\ м/с$

Ответ: скорость течения реки равна 3,47 метров в секунду, скорость катера равна 17,36 метров в секунду.

Равномерное движение – это движение с постоянной скоростью, то есть когда скорость не изменяется (v = const) и ускорения или замедления не происходит (а = 0).

Прямолинейное движение – это движение по прямой линии, то есть траектория прямолинейного движения – это прямая линия.

Равномерное прямолинейное движение – это движение, при котором тело за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения. Например, если мы разобьём какой-то временной интервал на отрезки по одной секунде, то при равномерном движении тело будет перемещаться на одинаковое расстояние за каждый из этих отрезков времени.

Скорость равномерного прямолинейного движения не зависит от времени и в каждой точке траектории направлена также, как и перемещение тела. То есть вектор перемещения совпадает по направлению с вектором скорости. При этом средняя скорость за любой промежуток времени равна мгновенной скорости:

V cp = v

Пройденный путь при прямолинейном движении равен модулю перемещения. Если положительное направление оси ОХ совпадает с направлением движения, то проекция скорости на ось ОХ равна величине скорости и положительна:

V x = v, то есть v > 0

Проекция перемещения на ось ОХ равна:

S = vt = x – x 0

где x 0 – начальная координата тела, х – конечная координата тела (или координата тела в любой момент времени)

Уравнение движения , то есть зависимость координаты тела от времени х = х(t), принимает вид:

Х = x 0 + vt

Если положительное направление оси ОХ противоположно направлению движения тела, то проекция скорости тела на ось ОХ отрицательна, скорость меньше нуля (v < 0), и тогда уравнение движения принимает вид:

Х = x 0 - vt

Зависимость скорости, координат и пути от времени

Зависимость проекции скорости тела от времени показана на рис. 1.11. Так как скорость постоянна (v = const), то графиком скорости является прямая линия, параллельная оси времени Ot.

Рис. 1.11. Зависимость проекции скорости тела от времени при равномерном прямолинейном движении.

Проекция перемещения на координатную ось численно равна площади прямоугольника ОАВС (рис. 1.12), так как величина вектора перемещения равна произведению вектора скорости на время, за которое было совершено перемещение.

Рис. 1.12. Зависимость проекции перемещения тела от времени при равномерном прямолинейном движении.

График зависимости перемещения от времени показан на рис. 1.13. Из графика видно, что проекция скорости равна

V = s 1 / t 1 = tg α

где α – угол наклона графика к оси времени.Чем больше угол α, тем быстрее движется тело, то есть тем больше его скорость (больший путь тело проходит за меньшее время). Тангенс угла наклона касательной к графику зависимости координаты от времени равен скорости:

Tg α = v

Рис. 1.13. Зависимость проекции перемещения тела от времени при равномерном прямолинейном движении.

Зависимость координаты от времени показана на рис. 1.14. Из рисунка видно, что

Tg α 1 > tg α 2

следовательно, скорость тела 1 выше скорости тела 2 (v 1 > v 2).

Tg α 3 = v 3 < 0

Если тело покоится, то графиком координаты является прямая, параллельная оси времени, то есть

Х = х 0

Рис. 1.14. Зависимость координаты тела от времени при равномерном прямолинейном движении.

3.1. Равнопеременное движение по прямой.

3.1.1. Равнопеременное движение по прямой - движение по прямой с постоянным по модулю и направлению ускорением:

3.1.2. Ускорение () - физическая векторная величина, показывающая, на сколько изменится скорость за 1 с.

В векторном виде:

где - начальная скорость тела, - скорость тела в момент времени t .

В проекции на ось Ox :

где - проекция начальной скорости на ось Ox , - проекция скорости тела на ось Ox в момент времени t .

Знаки проекций зависят от направления векторов и оси Ox .

3.1.3. График проекции ускорения от времени.

При равнопеременном движении ускорение постоянно, поэтому будет представлять собой прямые линии, параллельные оси времени (см. рис.):

3.1.4. Скорость при равнопеременном движении.

В векторном виде:

В проекции на ось Ox :

Для равноускоренного движения:

Для равнозамедленного движения:

3.1.5. График проекции скорости в зависимости от времени.

График проекции скорости от времени - прямая линия.

Направление движения: если график (или часть его) находятся над осью времени, то тело движется в положительном направлении оси Ox .

Значение ускорения: чем больше тангенс угла наклона (чем круче поднимается вверх или опускает вниз), тем больше модуль ускорения; где - изменение скорости за время

Пересечение с осью времени: если график пересекает ось времени, то до точки пересечения тело тормозило (равнозамедленное движение), а после точки пересечения начало разгоняться в противоположную сторону (равноускоренное движение).

3.1.6. Геометрический смысл площади под графиком в осях

Площадь под графиком, когда на оси Oy отложена скорость, а на оси Ox - время - это путь, пройденный телом.

На рис. 3.5 нарисован случай равноускоренного движения. Путь в данном случае будет равен площади трапеции: (3.9)

3.1.7. Формулы для расчета пути

Равноускоренное движение	Равнозамедленное движение
(3.10)	(3.12)
(3.11)	(3.13)
(3.14)

Все формулы, представленные в таблице, работают только при сохранении направления движения, то есть до пересечения прямой с осью времени на графике зависимости проекции скорости от времени.

Если же пересечение произошло, то движение проще разбить на два этапа:

до пересечения (торможение):

После пересечения (разгон, движение в обратную сторону)

В формулах выше - время от начала движения до пересечения с осью времени (время до остановки), - путь, который прошло тело от начала движения до пересечения с осью времени, - время, прошедшее с момента пересечения оси времени до данного момента t , - путь, который прошло тело в обратном направлении за время, прошедшее с момента пересечения оси времени до данного момента t , - модуль вектора перемещения за все время движения, L - путь, пройденный телом за все время движения.

3.1.8. Перемещение за -ую секунду.

За время тело пройдет путь:

За время тело пройдет путь:

Тогда за -ый промежуток тело пройдет путь:

За промежуток можно принимать любой отрезок времени. Чаще всего с.

Тогда за 1-ую секунду тело проходит путь:

За 2-ую секунду:

За 3-ю секунду:

Если внимательно посмотрим, то увидим, что и т. д.

Таким образом, приходим к формуле:

Словами: пути, проходимые телом за последовательные промежутки времени соотносятся между собой как ряд нечетных чисел, и это не зависит от того, с каким ускорением движется тело. Подчеркнем, что это соотношение справедливо при

3.1.9. Уравнение координаты тела при равнопеременном движении

Уравнение координаты

Знаки проекций начальной скорости и ускорения зависят от взаимного расположения соответствующих векторов и оси Ox .

Для решения задач к уравнению необходимо добавлять уравнение изменения проекции скорости на ось:

3.2. Графики кинематических величин при прямолинейном движении

3.3. Свободное падение тела

Под свободным падением подразумевается следующая физическая модель:

1) Падение происходит под действием силы тяжести:

2) Сопротивление воздуха отсутствует (в задачах иногда пишут «сопротивлением воздуха пренебречь»);

3) Все тела, независимо от массы падают с одинаковым ускорением (иногда добавляют - «независимо от формы тела», но мы рассматриваем движение только материальной точки, поэтому форма тела уже не учитывается);

4) Ускорение свободного падения направлено строго вниз и на поверхности Земли равно (в задачах часто принимаем для удобства подсчетов);

3.3.1. Уравнения движения в проекции на ось Oy

В отличии от движения по горизонтальной прямой, когда далеко не всех задач происходит смена направления движения, при свободном падении лучше всего сразу пользоваться уравнениями, записанными в проекциях на ось Oy .

Уравнение координаты тела:

Уравнение проекции скорости:

Как правило, в задачах удобно выбрать ось Oy следующим образом:

Ось Oy направлена вертикально вверх;

Начало координат совпадает с уровнем Земли или самой нижней точкой траектории.

При таком выборе уравнения и перепишутся в следующем виде:

3.4. Движение в плоскости Oxy .

Мы рассмотрели движение тела с ускорением вдоль прямой. Однако этим равнопеременное движение не ограничивается. Например, тело, брошенное под углом к горизонту. В таких задачах необходимо учитывать движение сразу по двум осям:

Или в векторном виде:

И изменение проекции скорости на обе оси:

3.5. Применение понятия производной и интеграла

Мы не будем приводить здесь подробное определение производной и интеграла. Для решения задач нам понадобятся лишь небольшой набор формул.

Производная:

где A , B и то есть постоянные величины.

Интеграл:

Теперь посмотрим, как понятие производной и интеграла применимо к физическим величинам. В математике производная обозначается «"», в физике производная по времени обозначается «∙» над функцией.

Скорость:

то есть скорость является производной от радиус-вектора.

Для проекции скорости:

Ускорение:

то есть ускорение является производной от скорости.

Для проекции ускорения:

Таким образом, если известен закон движения то легко можем найти и скорость и ускорение тела.

Теперь воспользуемся понятием интеграла.

Скорость:

то есть, скорость можно найти как интеграл по времени от ускорения.

Радиус-вектор:

то есть, радиус-вектор можно найти, взяв интеграл от функции скорости.

Таким образом, если известна функция то легко можем найти и скорость, и закон движения тела.

Константы в формулах определяются из начальных условий - значения и в момент времени

3.6. Треугольник скоростей и треугольник перемещений

3.6.1. Треугольник скоростей

В векторном виде при постоянном ускорении закон изменения скорости имеет вид (3.5):

Эта формула означает, что вектор равен векторной сумме векторов и Векторную сумму всегда можно изобразить на рисунке (см. рис.).

В каждой задаче, в зависимости от условий, треугольник скоростей будет иметь свой вид. Такое представление позволяет использовать при решении геометрические соображения, что часто упрощает решение задачи.

3.6.2. Треугольник перемещений

В векторном виде закон движения при постоянном ускорении имеет вид:

При решении задачи можно выбирать систему отсчета наиболее удобным образом, поэтому не теряя общности, можем выбрать систему отсчета так, что то есть начало системы координат помещаем в точку, где в начальный момент находится тело. Тогда

то есть вектор равен векторной сумме векторов и Изобразим на рисунке (см. рис.).

Как и в предыдущем случае в зависимости от условий треугольник перемещений будет иметь свой вид. Такое представление позволяет использовать при решении геометрические соображения, что часто упрощает решение задачи.

Теорема о проекциях скоростей двух точек твердого тела на прямую. Доказательство теоремы. Пример решения задачи.

Содержание

Теорема

Проекции скоростей двух точек твердого тела на ось, проходящую через эти точки, равны друг другу.
v A cos α = v B cos β .

Доказательство

Выберем прямоугольную неподвижную систему координат Oxyz . Возьмем две произвольные точки твердого тела A и B . Пусть (x A , y A , z A ) и (x B , y B , z B ) - координаты этих точек. При движении твердого тела они являются функциями от времени t . Дифференцируя по времени, получаем проекции скоростей точек.
, .

Воспользуемся тем, что при движении твердого тела, расстояние | AB| между точками остается постоянным, то есть не зависит от времени t . Также постоянным является квадрат расстояния
.
Продифференцируем это уравнение по времени t , применяя правило дифференцирования сложной функции.

Сократим на 2 .
(1)

Введем вектор
.
Тогда уравнение (1) можно представить в виде скалярного произведения векторов.
(2)
Выполняем преобразования.
;
(3) .
По свойству скалярного произведения
,
.
Подставляем в (3) и сокращаем на | AB| .
;

Что и требовалось доказать.

Относительная скорость

Рассмотрим движение точки B относительно точки A . Введем относительную скорость точки B относительно A .

Тогда уравнение (2) можно переписать в виде
.

То есть относительная скорость перпендикулярна вектору , проведенному из точки A в точку B . Поскольку точка B взята произвольным образом, то относительная скорость любой точки твердого тела перпендикулярна радиус вектору, проведенному из точки A . То есть относительно точки A тело совершает вращательное движение. Относительная скорость точек тела определяется по формуле для вращательного движения
.

Точку A , относительно которой рассматривают движение, часто называют полюсом .

Абсолютную скорость точки B относительно неподвижной системы координат можно записать в следующем виде:
.
Она равна сумме скорости поступательного движения произвольной точки A (полюса) и скорости вращательного движения относительно полюса A .

Пример решения задачи

Колеса 1 и 2 с радиусами R 1 = 0,15 м и R 2 = 0,3 м , соответственно, соединены шарнирами со стержнем 3 длины | AB| = 0,5 м . Колесо 1 вращается с угловой скоростью ω 1 = 1 рад/с . Для изображенного на рисунке положения механизма, определить угловую скорость ω 2 колеса 2. Принять L = 0,3 м .

Решение задачи

Точка A движется по окружности радиуса R 1 вокруг центра вращения O 1 . Скорость точки A определяется по формуле
V A = ω 1 R 1 .
Вектор направлен вертикально (перпендикулярно O 1 A ).

Точка B движется по окружности радиуса R 2 вокруг центра вращения O 2 . Скорость точки B определяется по формуле
V B = ω 2 R 2 .
Отсюда
.
Вектор направлен горизонтально (перпендикулярно O 2 B ).

Строим прямоугольный треугольник ABC . Применяем теорему Пифагора.
(м)
.
Косинус угла между вектором скорости и прямой AB , в направлении вектора , равен
.

По теореме о проекциях скоростей двух точек твердого тела на прямую имеем:
V A cos α = V B cos β .
Отсюда
.

Находим угловую скорость колеса 2 .
рад/с .

ω 2 = 0,667 рад/с