Введите количество сторон, длину стороны и апофему:

Определение пирамиды

Пирамида - это многогранник, в основании которого лежит многоугольник, а грани его являются треугольниками.

Онлайн-калькулятор

Стоит остановиться на определении некоторых составляющих пирамиды.

У нее, как и у других многогранников, есть ребра . Они сходятся к одной точке, которая называется вершиной пирамиды. В ее основании может лежать произвольный многоугольник. Гранью называется геометрическая фигура, образованная одной из сторон основания и двумя ближайшими ребрами. В нашем случае это треугольник. Высотой пирамиды называется расстояние от плоскости, в которой лежит ее основание, до вершины многогранника. Для правильной пирамиды существует еще понятие апофемы - это перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды к её основанию.

Виды пирамид

Существуют 3 вида пирамид:

1. Прямоугольная - та, у которой какое-либо ребро образует прямой угол с основанием.
2. Правильная - у нее основание – правильная геометрическая фигура, а вершина самого многоугольника является проекцией центра основания.
3. Тетраэдр - пирамида, составленная из треугольников. Причем каждый из них может быть принят за основание.

Формула площади поверхности пирамиды

Для нахождения полной площади поверхности пирамиды нужно сложить площадь боковой поверхности и площадь основания.

Самой простой является случай правильной пирамиды, поэтому нею мы и займемся. Вычислим полную площадь поверхности такой пирамиды. Площадь боковой поверхности равна:

S бок = 1 2 ⋅ l ⋅ p S_{\text{бок}}=\frac{1}{2}\cdot l\cdot p S бок ​ = 2 1 ​ ⋅ l ⋅ p

L l l - апофема пирамиды;
p p p - периметр основания пирамиды.

Полная площадь поверхности пирамиды:

S = S бок + S осн S=S_{\text{бок}}+S_{\text{осн}} S = S бок ​ + S осн ​

S бок S_{\text{бок}} S бок ​ - площадь боковой поверхности пирамиды;
S осн S_{\text{осн}} S осн ​ - площадь основания пирамиды.

Пример решения задачи.

Пример

Найти полную площадь треугольной пирамиды, если её апофема равна 8 (см.), а в основании лежит равносторонний треугольник со стороной 3 (см.)

Решение

L = 8 l=8 l = 8
a = 3 a=3 a = 3

Найдем периметр основания. Так как в основании лежит равносторонний треугольник со стороной a a a , то его периметр p p p (сумма всех его сторон):

P = a + a + a = 3 ⋅ a = 3 ⋅ 3 = 9 p=a+a+a=3\cdot a=3\cdot 3=9 p = a + a + a = 3 ⋅ a = 3 ⋅ 3 = 9

Тогда боковая площадь пирамиды:

S бок = 1 2 ⋅ l ⋅ p = 1 2 ⋅ 8 ⋅ 9 = 36 S_{\text{бок}}=\frac{1}{2}\cdot l\cdot p=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 9=36 S бок ​ = 2 1 ​ ⋅ l ⋅ p = 2 1 ​ ⋅ 8 ⋅ 9 = 3 6 (см. кв.)

Теперь найдем площадь основания пирамиды, то есть площадь треугольника. В нашем случае треугольник равносторонний и его площадь можно вычислить по формуле:

S осн = 3 ⋅ a 2 4 S_{\text{осн}}=\frac{\sqrt{3}\cdot a^2}{4} S осн ​ = 4 3 ​ ⋅ a 2 ​

A a a - сторона треугольника.

Получаем:

S осн = 3 ⋅ a 2 4 = 3 ⋅ 3 2 4 ≈ 3.9 S_{\text{осн}}=\frac{\sqrt{3}\cdot a^2}{4}=\frac{\sqrt{3}\cdot 3^2}{4}\approx3.9 S осн ​ = 4 3 ​ ⋅ a 2 ​ = 4 3 ​ ⋅ 3 2 ​ ≈ 3 . 9 (см. кв.)

Полная площадь:

S = S бок + S осн ≈ 36 + 3.9 = 39.9 S=S_{\text{бок}}+S_{\text{осн}}\approx36+3.9=39.9 S = S бок ​ + S осн ​ ≈ 3 6 + 3 . 9 = 3 9 . 9 (см. кв.)

Ответ: 39.9 см. кв.

Еще один пример, немного сложнее.

Пример

Основанием пирамиды является квадрат с площадью 36 (см. кв.). Апофема многогранника в 3 раза больше стороны основания a a a . Найти полную площадь поверхности данной фигуры.

Решение

S квад = 36 S_{\text{квад}}=36 S квад ​ = 3 6
l = 3 ⋅ a l=3\cdot a l = 3 ⋅ a

Найдем сторону основания, то есть сторону квадрата. Его площадь и длина стороны связанны:

S квад = a 2 S_{\text{квад}}=a^2 S квад ​ = a 2
36 = a 2 36=a^2 3 6 = a 2
a = 6 a=6 a = 6

Найдем периметр основания пирамиды (то есть, периметр квадрата):

P = a + a + a + a = 4 ⋅ a = 4 ⋅ 6 = 24 p=a+a+a+a=4\cdot a=4\cdot 6=24 p = a + a + a + a = 4 ⋅ a = 4 ⋅ 6 = 2 4

Найдем длину апофемы:

L = 3 ⋅ a = 3 ⋅ 6 = 18 l=3\cdot a=3\cdot 6=18 l = 3 ⋅ a = 3 ⋅ 6 = 1 8

В нашем случае:

S квад = S осн S_{\text{квад}}=S_{\text{осн}} S квад ​ = S осн ​

Осталось найти только площадь боковой поверхности. По формуле:

S бок = 1 2 ⋅ l ⋅ p = 1 2 ⋅ 18 ⋅ 24 = 216 S_{\text{бок}}=\frac{1}{2}\cdot l\cdot p=\frac{1}{2}\cdot 18\cdot 24=216 S бок ​ = 2 1 ​ ⋅ l ⋅ p = 2 1 ​ ⋅ 1 8 ⋅ 2 4 = 2 1 6 (см. кв.)

Полная площадь:

$S=S^{\text{бок + S осн = 2 1 6 + 3 6 = 2 5 2 (см. кв.)}}$

Ответ: 252 см. кв.

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению её апофемы на половину периметра основания.

Что касается площади полной поверхности, то просто к боковой прибавляем площадь основания.

Боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему.

Доказательство:

Если сторона основания а, число сторон n, то боковая поверхность пирамиды равна:

a l n/2 =a n l/2=pl/2

где l - апофема, а p - периметр основания пирамиды. Теорема доказана.

Эта формула читается так:

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему пирамиды.

Площадь полной поверхности пирамиды вычисляется по формуле:

S полн = S бок + S осн

Если пирамида неправильная, то ее боковая поверхность будет равна сумме площадей ее боковых граней.

Объем пирамиды

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Доказательство. Будем исходить из треугольной призмы. Проведем плоскость через вершину A" верхнего основания призмы и противолежащее ребро ВС нижнего основания. Эта плоскость отсечет от призмы треугольную пирамиду A"АВС. Оставшуюся часть призмы разложим на жва тела, проведя плоскость через диагонали A"С и B"C боковых граней. Полученные два тела также являются пирамидами. Считая треугольник A"B"C" основанием одной из них, а С её вершиной, увидим, что её основание и высота такие же, как и у первой отсеченной нами пирамиды, поэтому пирамиды A"АВС и CA"B"C" равновелики. Кроме того, обе новые пирамиды CA"B"C" и A"B"ВС также равновелики - это станет ясным, если примем за их основания треугольники ВСB" и B"CC". Пирамиды CA"B"C" и A"B"ВС имеют общую вершину A", а их основания расположены в одной плоскости и равны, следовательно, пирамиды равновелики. Итак, призма разложена на три равновеликие между собой пирамиды; объем каждой из них равен одной трети объема призмы. Так как форма основания несущественна, то, вообще, объем n-угольной пирамиды равен одной трети объема призмы с той же высотой и тем же (или равновеликим) основанием. Вспоминая формулу, выражающую объем призмы, V=Sh, получим окончательный результат: V=1/3Sh

Определение 1 . Пирамида называется правильной, если её основанием является правильный многоугольник, при этом вершина такой пирамиды проецируется в центр ее основания.

Определение 2 . Пирамида называется правильной, если ее основание - правильный многоугольник, а высота проходит через центр основания.

Элементы правильной пирамиды

• Высота боковой грани, проведенная из ее вершины называется апофема . На рисунке обозначена как отрезок ON
• Точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания, называется вершиной пирамиды (О)
• Треугольники, имеющие общую сторону с основанием и одну из вершин, совпадающую с вершиной, называются боковыми гранями (AOD, DOC, COB, AOB)
• Отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания называется высотой пирамиды (ОК)
• Диагональное сечение пирамиды - это сечение, проходящее через вершину и диагональ основания (AOC, BOD)
• Многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды, называется основанием пирамиды (ABCD)

Если в основании правильной пирамиды лежит треугольник, четырехугольник и т.д. то она называется правильной треугольной , четырехугольной и т.д.

Треугольная пирамида есть четырехгранник — тетраэдр .

Свойства правильной пирамиды

Для решения задач необходимо знать свойства отдельных элементов, которые в условии обычно опускаются, так как считается, что ученик должен это знать изначально.

• боковые ребра равны между собой
• апофемы равны
• боковые грани равны между собой (при этом, соответственно, равны их площади, боковые стороны и основания), то есть они являются равными треугольниками
• все боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками
• в любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать около неё сферу
• если центры вписанной и описанной сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна π, а каждый из них соответственно π/n, где n - количество сторон многоугольника основания
• площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему
• около основания правильной пирамиды можно описать окружность (см. также радиус описанной окружности треугольника)
• все боковые грани образуют с плоскостью основания правильной пирамиды равные углы
• все высоты боковых граней равны между собой

Указания к решению задач . Свойства, перечисленные выше, должны помочь в практическом решении. Если требуется найти углы наклона граней, их поверхность и т. д., то общая методика сводится к разбиению всей объемной фигуры на отдельные плоские фигуры и применение их свойств для нахождения отдельных элементов пирамиды, поскольку многие элементы являются общими для нескольких фигур.

Необходимо разбить всю объемную фигуру на отдельные элементы - треугольники, квадраты, отрезки. Далее, к отдельным элементам применить знания из курса планиметрии, что существенно упрощает нахождение ответа.

Формулы для правильной пирамиды

Формулы для нахождения объема и площади боковой поверхности:

Обозначения :
V - объем пирамиды
S - площадь основания
h - высота пирамиды
Sb - площадь боковой поверхности
a - апофема (не путать с α)
P - периметр основания
n - число сторон основания
b - длина бокового ребра
α - плоский угол при вершине пирамиды

Данная формула нахождения объема может применяться только для правильной пирамиды:

, где

V - объем правильной пирамиды
h - высота правильной пирамиды
n - число сторон правильного многоугольника, который является основанием для правильной пирамиды
a - длина стороны правильного многоугольника

Правильная усеченная пирамида

Если провести сечение, параллельное основанию пирамиды, то тело, заключённое между этими плоскостями и боковой поверхностью, называется усеченной пирамидой . Это сечение для усеченной пирамиды является одним из её оснований.

Высота боковой грани (которая является равнобокой трапецией), называется - апофема правильной усеченной пирамиды .

Усечённая пирамида называется правильной, если пирамида, из которой она была получена – правильная.

• Расстояние между основаниями усеченной пирамиды называется высотой усеченной пирамиды
• Все грани правильной усеченной пирамиды являются равнобокими (равнобедренными) трапециями

Примечания

См. также: частные случаи (формулы) для правильной пирамиды:

Как воспользоваться приведенными здесь теоретическими материалами для решения своей задачи:

Перед изучением вопросов о данной геометрической фигуре и её свойствах, следует разобраться в некоторых терминах. Когда человек слышит о пирамиде, ему представляются большущие постройки в Египте. Так выглядят самые простые из них. Но они бывают разных видов и форм, а значит и формула вычисления для геометрических фигур будет разной.

Виды фигуры

Пирамида – геометрическая фигура , обозначающая и представляющая собой несколько граней. По сути – это тот же многогранник, в основании которого лежит многоугольник, а по бокам расположены треугольники, соединяющиеся в одной точке – вершине. Фигура бывает двух основных видов:

• правильная;
• усечённая.

В первом случае, в основании лежит правильный многоугольник. Тут все боковые поверхности равны между собой и сама фигура порадует глаз перфекциониста.

Во втором случае, оснований два - большое в самом низу и малое между вершиной, повторяющее форму основного. Иными словами – усечённая пирамида представляет собой многогранник с сечением, образованным параллельно основанию.

Термины и обозначения

Основные термины:

• Правильный (равносторонний) треугольник – фигура с тремя одинаковыми углами и равными сторонами. В этом случае все углы имеют 60 градусов. Фигура является простейшей из правильных многогранников. Если эта фигура лежит в основании, то такой многогранник будет называться правильной треугольной. Если в основании лежит квадрат, пирамида будет называться правильной четырёхугольной пирамидой.
• Вершина – самая верхняя точка, где сходятся грани. Высота вершины образуется прямой линией, исходящей от вершины к основанию пирамиды.
• Грань – одна из плоскостей многоугольника. Она может быть в виде треугольника в случае с треугольной пирамидой либо в виде трапеции для усечённой пирамиды.
• Сечение – плоская фигура, образующаяся в результате рассечения. Не стоит путать с разрезом, так как разрез показывает и то, что находится за сечением.
• Апофема – отрезок, проведённый из вершины пирамиды к её основанию. Он также является высотой той грани, где находится вторая точка высоты. Данное определение справедливо лишь по отношению к правильному многограннику. К примеру – если это не усечённая пирамида, то грань будет представлять собой треугольник. В данном случае высота этого треугольника и станет апофемой.

Формулы площади

Находить площадь боковой поверхности пирамиды любого типа можно несколькими способами. Если фигура не симметричная и представляет собой многоугольник с разными сторонами, то в данном случае легче вычислить общую площадь поверхности через совокупность всех поверхностей. Иными словами – надо посчитать площадь каждой грани и сложить их вместе.

В зависимости от того, какие параметры известны, могут потребоваться формулы вычисления квадрата, трапеции, произвольного четырёхугольника и т.д. Сами формулы в разных случаях тоже будут иметь отличия.

В случае с правильной фигурой находить площадь намного проще. Достаточно знать всего несколько ключевых параметров. В большинстве случаев требуются вычисления именно для таких фигур. Поэтому далее будут приведены соответствующие формулы. В противном случае пришлось бы расписать всё на несколько страниц, что только запутает и собьёт с толку.

Основная формула для вычисления площади боковой поверхности правильной пирамиды будет иметь следующий вид:

S=½ Pa (P – периметр основания, а – апофема)

Рассмотрим один из примеров. Многогранник имеет основание с отрезками A1, А2, А3, А4, А5, и все они равны 10 см. Апофема пусть будет равна 5 см. Для начала надо найти периметр. Так как все пять граней основания одинаковые, можно находить так: Р=5*10=50 см. Далее применяем основную формулу: S =½*50*5=125 см в квадрате.

Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды вычислить легче всего. Формула имеет следующий вид:

S =½* ab *3, где а – апофема, b – грань основания. Множитель тройки здесь означает количество граней основания, а первая часть – площадь боковой поверхности. Рассмотрим пример. Дана фигура с апофемой 5 см и гранью основания 8 см. Вычисляем: S =1/2*5*8*3=60 см в квадрате.

Площадь боковой поверхности усечённой пирамиды вычислять немного сложнее. Формула выглядит так: S =1/2*(p _01+ p _02)*a , где р_01 и р_02 являются периметрами оснований, а – апофема. Рассмотрим пример. Допустим, для четырёхугольной фигуры даны размеры сторон оснований 3 и 6 см, апофема равна 4 см.

Тут для начала следует найти периметры оснований: р_01 =3*4=12 см; р_02=6*4=24 см. Осталось подставить значения в основную формулу и получим: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 см в квадрате.

Таким образом, можно найти площадь боковой поверхности правильной пирамиды любой сложности. Следует быть внимательным и не путать эти вычисления с полной площадью всего многогранника. А если это всё же понадобится сделать – достаточно вычислить площадь самого большого основания многогранника и прибавить её к площади боковой поверхности многогранника.

Видео

Закрепить информацию о том, как найти площадь боковой поверхности разных пирамид, вам поможет это видео.