Он может пригласить в гости одного или несколько из них. Определите общее число возможных вариантов. №3 В 9 «а» классе учатся 25 учащихся, в 9 «б» - 20 учащихся, а в 9 «в» - 18 учащихся. Для работы на пришкольном участке надо выделить трёх учащихся из 9 «а», двух -из 9 «б» и одного – из 9 «в». Сколько существует способов выбора учащихся для работы на пришкольном участке? С №1 Пять мальчиков и четыре девочки хотят сесть на девятиместную скамейку так, чтобы каждая девочка сидела между двумя мальчиками. Сколькими способами они могут это сделать? №2 Из 12 солдат, в число которых входят Иванов и Петров, надо отправить в наряд трёх человек. Сколькими способами это можно сделать, если: а) Иванов и Петров должны пойти в наряд обязательно; б) Иванов и Петров должны остаться; в)Иванов должен пойти в наряд, а Петров –остаться? (Ответы) Устал - отдохни.
В №1 В шахматном кружке занимаются 16 человек. Сколькими способами тренер может выбрать из них для предстоящего турнира: а) команду из четырёх человек; б) команду из четырёх человек, указав при этом, кто из членов команды будет играть на первой, второй, третьей и четвёртой досках?
Элементы комбинаторики 9 -11 классы, МБОУ Кочневская СОШ учитель Грязнова А.К Основные вопросы:
- Что такое комбинаторика? Какие задачи считают комбинаторными?
- Перестановки
- Размещения
- Сочетания
- Комбинаторика – радел математики, в котором рассматриваются задачи о подсчёте числа комбинаций составленных по определённым правилам.
- Комбинаторика – от латинского слова combinare, что означает «соединять, сочетать».
- Методы комбинаторики находят широкое применение в физике, химии, биологии, экономики и др. областях знания.
- Комбинаторику можно рассматривать как часть теории множеств – любую комбинаторную задачу можно свести к задаче о конечных множествах и их отображениях.
- 3. Третий уровень . Решения данной комбинаторной задачи отличаются друг от друга некоторыми параметрами. В этом случае возникает вопрос отыскания оптимального варианта решения такой задачи. Например: Путешественник хочет выехать из города А, посетить города В, С, и D. После чего вернуться в город А.
На рис. изображена схема путей, связывающих эти города. Различные варианты путешествий отличаются друг от друга порядком посещения городов В, С, и.D. Существует шесть вариантов путешествия. В таблице указаны варианты и длин каждого пути:
- Комбинаторные задачи на оптимизацию приходится решать мастеру, стремящемуся к быстрейшему выполнению задания, агроному, стремящемуся к наивысшей урожайности на данных полях, и т.д.
- Мы будем рассматривать лишь задачи о подсчёте числа решений комбинаторной задачи. Этот раздел комбинаторики, называемый теорией перечислений , тесно связан с теорией вероятностей.
- 1. Сколько различных коктейлей можно составить из четырёх напитков, смешивая их в равных количествах по два?
- AB, AC, AD, BC, BD, CD – всего 6 коктейлей Первой цифрой двузначного числа может одна из цифр 1, 2, 3 (цифра 0 не может быть первой). Если первая цифра выбрана, то вторая может быть любая из цифр 0, 1, 2, 3. Т.к. каждой выбранной первой соответствует четыре способа выбора второй, то всего имеется 4 + 4 + 4 = 4·3 = 12 различных двузначных чисел.
2. Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3 ?
- 2. Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3 ? 4 + 4 + 4 = 4·3 = 12 различных двузначных чисел.
- Первая цифра вторая цифра
- Если элемент А можно выбрать из множества элементов п способами и для каждого такого выбора элемент В можно выбрать т способами, то два элемента (пару) А и В можно выбрать п·т способами.
- Сколькими способами могут быть расставлены 4 участниц финального забега на четырёх беговых дорожках?
Рп = 4· 3 ·2 ·1= 24 способа (перестановки из 4-х элементов)
2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3
1 дорожка
II. Перестановки (1) К в а р т е т Проказница Мартышка, Осёл, Козёл Да косолапый Мишка Затеяли сыграть Квартет. ……………………………………………………. Ударили в смычки, дерут, а толку нет. «Стой, братцы, стой! - кричит Мартышка. – Погодите! Как музыке идти? Ведь вы не так сидите»
4·3·2·1 = 4! способов
II. Перестановки (2)- Перестановкой из п - элементов называется комбинации, отличающиеся друг от друга лишь порядком следования элементов
- Рп- число перестановок (Р первая буква французского слова permutation- перестановка) Рп= n ·(n- 1)·(n- 2)·(n- 3)·(n- 4)·. . .·3 ·2 ·1= n! Рп = n!
- Четыре попутчик решили обменяться визитными карточками. Сколько всего карточек при этом было использовано? получилось 12 карточек. Каждый из четырёх попутчиков вручил визитку каждому из трёх попутчиков 4 · 3 = 12
Комбинации, составленные из k элементов, взятых из n элементов, и отличающиеся друг от друга либо составом, либо порядком расположения элементов, называются размещениями из n элементов по k (0< k ≤n ).
Размещение из n элементов по k элементов. А первая буква
французского слова arrangement : «размещение»,
«приведение в порядок»
Размещения (2)- Пуст имеется 4 шара и 3 пустых ячейки. Обозначим шары буквами a, b, c, d. В пустые ячейки можно по разному разместить три шара из этого набора.
- Выбирая по-разному первый, второй и третий шары, будем получать различные упорядоченные тройки шаров
- Каждая упорядоченная тройка, которую можно составить из четырёх элементов называется размещением из четырёх элементов по три
- Сколько же размещений можно составить из 4-х элементов (abcd ) по три?
- abc abd acb acd adb adc
- bac bad bca bcd bda bdc
- cab cad cba cbd cda cdb
- dab dac dba dbc dca dcb
Р е ш е н о п е р е б о р о м в а р и а н т о в
Размещения (4)- Можно решить и не выписывая самих размещений:
- первый элемент можно выбрать четырьмя способами, так им может быть любой элемент из четырёх;
- для каждого первого второй можно выбрать тремя способами;
- для каждых первых двух можно двумя способами выбрать третий элемент из двух оставшихся. Получаем
Решено с использованием п р а в и л а у м н о ж е ни я
Сочетания- Сочетанием из п элементов по k называют любое множество, составленное из k элементов, выбранных из п элементов
В отличии от размещений в сочетаниях не имеет значение порядок элементов . Два сочетания отличаются друг от друга хотя бы одним элементом
Р е ш и з а д а ч и: 1. На плоскости отмечено 5 точек. Сколько получится отрезков, если соединить точки попарно?2. На окружности отмечено п точек. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?
Источники информации
- В.Ф.Бутузов, Ю.М.Колягин, Г.Л. Луканкин, Э.Г.Позняк и др. «Математика» учебное пособие для 11кл общеобразовательных учреждений /рекомендовано Министерством образования РФ/ М., Просвещение, 1996.
- Е.А. Бунимович, В.А. Булычёв: «Вероятность и статистика», пособие для общеобразовательных учебных заведений 5 – 9 классы / допущено Министерством образования Российской Федерации // Дрофа Москва 2002
- Ю.Н. Макарычев, Н.Г.Миндюк «Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей 7 – 9 классы» Под редакцией С.А.Теляковского М: Просвещение, 2006 г
- Треугольнички http://works.doklad.ru/images/_E3ZV-_wFwU/md87b96f.gif
Остальные рисунки созданы Грязновой А.К.
- Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.
- Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова «combinare», что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять».
- Термин "комбинаторика" был введён знаменитым Готфридом Вильгельмом Лейбницем, - всемирно известным немецким учёным.
- Комбинаторика - важный раздел математики,
- знание которого необходимо представителям самых разных специальностей. С комбинаторными задачами приходится иметь дело физикам, химикам, биологам, лингвистам, специалистам по кодам и др.
- Комбинаторные методы лежат в основе решения многих задач теории
- вероятностей и
- ее приложений.
- В Древней Греции
- подсчитывали число различных комбинаций длинных и коротких слогов в стихотворных размерах, занимались теорией фигурных чисел, изучали фигуры, которые можно составить из частей и т.д.
- Со временем появились различные игры
- (нарды, карты, шашки, шахматы и т. д.)
- В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучал, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных.
- Готфрид Вильгельм Лейбниц (1.07.1646 - 14.11.1716)
- Комбинаторику, как самостоятельный раздел математики первым стал рассматривать немецкий ученый Г. Лейбниц в своей работе «Об искусстве комбинаторики», опубликованной в 1666г. Он также впервые ввел термин «Комбинаторика».
- Леонард Эйлер(1707-1783)
- рассматривал задачи о разбиении чисел, о паросочетаниях, циклических расстановках, о построении магических и латинских квадратов, положил начало совершенно новой области исследований, выросшей впоследствии в большую и важную науку-топологию, которая изучает общие свойства пространства и фигур.
- Если некоторый объект A можно выбрать m способами, а другой объект В можно выбрать n способами, то выбор «либо А, либо В» можно осуществить (m+n) способами.
- При использовании правила суммы надо следить, чтобы ни один из способов выбора объекта А не совпадал с каким-либо способом выбора объекта В.
- Если такие совпадения есть, правило суммы утрачивает силу, и мы получаем лишь (m + n - k) способов выбора, где k-число совпадений.
- В коробке находится 10 шаров: 3 белых, 2 черных, 1 синий и 4 красных. Сколькими способами можно взять из ящика цветной шар?
- Решение:
- Цветной шар – это синий или красный, поэтому применим правило суммы:
- Если объект А можно выбрать m способами и если после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то выбор пары (А,В) в указанном порядке можно осуществить mn способами.
- При этом число способов выбора второго элемента не зависит от того, как именно выбран первый элемент.
- Сколько может быть различных комбинаций выпавших
- граней при бросании двух игральных костей?
- Решение:
- На первой кости может быть: 1,2,3,4,5 и 6 очков, т.е. 6 вариантов.
- На второй – 6 вариантов.
- Всего: 6*6=36 вариантов.
- Правила суммы и произведения верны для любого количества объектов.
- №1. Из города А а город В ведут 6 дорог, а из города В в город С – 3 дороги. Сколькими способами можно проехать из города А в город С?
- №2. На книжной полке стоят 3 книги по алгебре, 7 по геометрии и 2 по литературе. Сколькими способами можно взять с полки одну книгу по математике?
- №3. В меню имеется 4 первых блюда, 3 – вторых, 2 – десерта. Сколько различных обедов можно из них составить?
- « Эн факториал»-n!.
- Определение.
- Произведение подряд идущих первых n
- натуральных чисел обозначают n! и называют
- «эн факториал»: n!=1 2 3 … (n-1) n.
- 1 2 3=
- 1 2 3 4=
- 1 2 3 4 5=
- 1 2 3 4 5 6=
- 1 2 3 4 5 6 7=
- n!=(n-1)! n
- Удобная формула!!!
- Комбинации из n-элементов, отличающиеся друг от друга только порядком следования элементов, называются перестановками.
- Обозначаются Рn
- Перестановки
- Из чисел 1, 5, 9 составить трёхзначное
- число без повторяющихся цифр.
- 2 комбинации
- 2 комбинации
- 2 комбинации
- Всего 2 3=6 комбинаций.
- Комбинации из n-элементов по k, отличающиеся друг от друга составом и порядком, называются размещениями.
- Размещения
- Комбинации из n-элементов по к , отличающиеся только составом элементов, называются сочетаниями из n -элементов по к .
- Сочетания
- Из 20 учащихся надо выбрать двух дежурных.
- Сколькими способами это можно сделать?
- Решение:
- Надо выбрать двух человек из 20.
- Ясно, что от порядка выбора ничего не зависит, то есть
- Иванов - Петров или Петров - Иванов - это одна
- и та же пара дежурных. Следовательно, это будут сочетания из 20 по 2.
- 1. Сколько слов можно образовать из букв слова фрагмент, если слова должны состоять: из 8 букв; из 7 букв; из 3 букв?
- 2. Студенту необходимо сдать 4 экзамена в течение десяти дней. Сколькими способами можно составить ему расписание экзаменов?
- 3. Сколькими способами из восьми человек можно избрать комиссию, состоящую из пяти членов?
- 4. Сколько существует различных автомобильных номеров, которые состоят из 5 цифр, если первая из них не равна нулю? Если номер состоит из одной буквы, за которой следуют четыре цифры, отличные от нуля?
- 5. Подрядчику нужны 4 плотника, а к нему с предложением своих услуг обратились 10. Сколькими способами он может выбрать среди них четверых?
- 6. Сколькими способами можно расставить на полке семь книг
- 7. Сколько 5-буквенных слов можно образовать, используя для этого 10 различных букв.
- 8. Сколькими способами можно отобрать несколько фруктов из семи яблок, четырех лимонов и девяти апельсинов? (Фрукты одного вида считаем неразличимыми.)
комбинаторики.
Электронное учебно-методическое пособие
для учащихся 9-11 классов.
Автор-составитель:
Каторова О.Г.,
учитель математики
МБОУ «Гимназия №2»
г.Саров
Комбинаторика
Комбинаторика – это разделматематики, в котором изучаются
вопросы выбора или расположения
элементов множества в соответствии
с заданными правилами.
«Комбинаторика» происходит от латинского
слова «combina», что в переводе на русский
означает – «сочетать», «соединять».ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА
Термин "комбинаторика" был
введён в математический обиход
всемирно
известным
немецким
учёным Г.В.Лейбницем, который в
1666 году опубликовал "Рассуждения
о комбинаторном искусстве".
Г.В.Лейбниц
В XVIII веке к решению комбинаторных задач обращались
и другие выдающиеся математики. Так, Леонард Эйлер
рассматривал задачи о разбиении чисел, о паросочетаниях, о
циклических расстановках, о построении магических и
латинских квадратов.Комбинаторика занимается
различного рода соединениями
(перестановки, размещения,
сочетания), которые можно
образовать из элементов
некоторого конечного множества.
Комбинаторные соединения
Перестановки1.
2.
Перестановки без повторений
Перестановки с повторениями
Размещения
1.
2.
Размещения без повторений
Размещения с повторениями
Сочетания
1.
2.
Сочетания без повторений
Сочетания с повторениямиПерестановки – соединения,
которые можно составить из n
элементов, меняя всеми
возможными способами их порядок.
Формула:
Историческая справка
В 1713 году было опубликованосочинение Я. Бернулли "Искусство
предположений", в котором с
достаточной полнотой были изложены
известные к тому времени
комбинаторные факты.
"Искусство
предположений" не было завершено
автором и появилось после его смерти.
Сочинение состояло из 4 частей,
комбинаторике была посвящена
вторая часть, в которой содержится
формула для числа перестановок из n
элементов.
Пример
Сколькими способами могут 8 человек встать вочередь к театральной кассе?
Решение задачи:
Существует 8 мест, которые должны занять 8 человек.
На первое место может встать любой из 8 человек, т.е. способов
занять первое место – 8.
После того, как один человек встал на первое место, осталось 7
мест и 7 человек, которые могут быть на них размещены, т.е.
способов занять второе место – 7. Аналогично для третьего,
четвертого и т.д. места.
Используя принцип умножения, получаем произведение. Такое
произведение обозначается как 8! (читается 8 факториал) и
называется перестановкой P8.
Ответ: P8 = 8!
Проверь себя
1) Сколькими способами можно поставитьрядом на полке четыре различные
книги?
РЕШЕНИЕ
Проверь себя
2) Сколькими способами можно положить10 различных открыток в 10 имеющихся
конвертов (по одной открытке в конверт)?
РЕШЕНИЕ
Проверь себя
3) Сколькими способами можно рассадитьвосьмерых детей на восьми стульях в столовой
детского сада?
РЕШЕНИЕ
Проверь себя
4) Сколько различных слов можно составить,переставляя местами буквы в слове
«треугольник» (считая и само это слово)?
РЕШЕНИЕ
Проверь себя
5) Сколькими способами можно установитьдежурство по одному человеку в день среди семи
учащихся группы в течение 7 дней (каждый
должен отдежурить один раз)?
РЕШЕНИЕ
Проверь себя
Перестановки сповторениями
Всякое размещение с повторениями, в
котором элемент а1 повторяется k1 раз, элемент
a2 повторяется k2 раз и т.д. элемент an
повторяется kn раз, где k1, k2, ..., kn - данные
числа, называется перестановкой с
повторениями порядка
m = k1 + k2 + … + kn, в которой данные
элементы a1, a2, …, an повторяются
соответственно k1, k2, .., kn раз.
Проверь себя
Перестановки сповторениями
Теорема. Число различных перестановок с
повторениями из элементов {a1, …, an}, в
которых элементы a1, …, an повторяются
соответственно k1, ..., kn раз, равно
(k1+k2+…+kn)!
m!
P
k1! k2! … kn!
k1! k2! … kn!
Проверь себя
ПримерСлова и фразы с переставленными буквами
называют анаграммами. Сколько анаграмм можно
составить из слова «макака»?
Решение.
Всего в слове «МАКАКА» 6 букв (m=6).
Определим сколько раз в слове используется каждая буква:
«М» - 1 раз (k1=1)
«А» - 3 раза (k2=3)
«К» - 2 раза (k3=2)
m!
Р=
k1! k2! …kn!
6!
4*5*6
Р1,3,2 =
= 2 = 60.
1! 3! 2!
Проверь себя
1) Сколько различных слов можно получить,переставляя буквы слова "математика" ?
РЕШЕНИЕ
Проверь себя
2) Сколькими способами можно расставить напервой горизонтали шахматной доски комплект
белых фигур (король, ферзь, две ладьи, два
слона и два коня)?
РЕШЕНИЕПроверь себя
3) У мамы 2 яблока, 3 груши и 4 апельсина.
Каждый день в течение девяти дней подряд она
дает сыну один из оставшихся фруктов.
Сколькими способами это может быть сделано?
РЕШЕНИЕИсторическая справка
Комбинаторные мотивы можно
заметить еще в символике китайской «Книги
перемен» (V век до н. э.).
В XII в. индийский математик Бхаскара в
своём основном труде «Лилавати» подробно
исследовал задачи с перестановками и
сочетаниями, включая перестановки с
повторениями.
Пример
РазмещенияРазмещением из n элементов по k
(k n) называется любое множество,
состоящее из любых k элементов, взятых в
определенном порядке из n элементов.
Два размещения из n элементов считаются
различными, если они отличаются самими
элементами или порядком их расположения.
А n(n 1)(n 2) ... (n (k 1))
k
n
Проверь себя
ПримерСколькими способами из 40 учеников класса
можно выделить актив в следующем составе:
староста, физорг и редактор стенгазеты?
Решение:
Требуется выделить упорядоченные трехэлементные
подмножества множества, содержащего 40
элементов, т.е. найти число размещений без
повторений из 40 элементов по 3.
40!
A=
=38*39*40=59280
37!
3
40
Проверь себя
1. Из семи различных книг выбираютчетыре. Сколькими способами это можно
сделать?
РЕШЕНИЕ
Проверь себя
2. В чемпионате по футболу участвуютдесять команд. Сколько существует
различных возможностей занять
командам первые три места?
РЕШЕНИЕ
Проверь себя
3. В классе изучаются 7 предметов. В среду 4урока, причем все разные. Сколькими
способами можно составить расписание на
среду?
РЕШЕНИЕ
Проверь себя
Размещения сповторениями
Размещения с повторениями –
соединения, содержащие n элементов,
выбираемых из элементов m различных
видов (n m) и отличающиеся одно от
другого либо составом, либо порядком
элементов.
Их количество в предположении
неограниченности количества элементов
каждого вида равно
Проверь себя
Пример использованияВ библиотеку, в которой есть много
одинаковых учебников по десяти
предметам, пришло 5 школьников,
каждый из которых хочет взять учебник.
Библиотекарь записывает в журнал по
порядку названия (без номера) взятых
учебников без имен учеников, которые их
взяли. Сколько разных списков в журнале
могло появиться?
Историческая справка
Решение задачиТак как учебники по каждому
предмету одинаковые, и библиотекарь
записывает лишь название (без
номера),то список – размещение с
повторением, число элементов
исходного множества равно 10, а
количество позиций – 5.
Тогда количество разных списков равно
= 100000.
Ответ: 100000
Размещения
Проверь себя!1. Телефонный номер состоит из 7 цифр.
Какое наибольшее число звонков
неудачник-Петя может совершить
прежде, чем угадает правильный номер.
РЕШЕНИЕ
РЕШЕНИЕ
Пример
Проверь себя!2. Сколькими способами можно
написать слово, составленное из
четырех букв английского алфавита?
РЕШЕНИЕ
Проверь себя
Проверь себя!3. В магазине, где есть 4 вида мячей,
решили поставить в ряд 8 мячей. Сколькими
способами можно это сделать, если их
расположение имеет значение?
РЕШЕНИЕ
Проверь себя
Проверь себя!4. Сколькими способами можно пришить на
костюм клоуна в линию шесть пуговиц
одного из четырех цветов, чтобы получить
узор?
РЕШЕНИЕ
Проверь себя
СочетанияСочетания – соединения, содержащие по
m предметов из n, различающихся друг от
друга по крайней мере одним предметом.
Сочетания – конечные множества, в
которых порядок не имеет значения.
Проверь себя
СочетанияФормула нахождения количества
сочетаний без повторений:
Проверь себя
Историческая справкаВ 1666 году Лейбниц опубликовал "Рассуждения
о комбинаторном искусстве". В своём сочинении
Лейбниц, вводя специальные символы, термины для
подмножеств и операций над ними, находит все k сочетания из n элементов, выводит свойства
сочетаний:
,
,
Проверь себя
Пример использования:Сколькими способами можно выбрать двух
дежурных из класса, в котором 25 учеников?
Решение:
m = 2 (необходимое количество дежурных)
n = 25 (всего учеников в классе)
Размещения с повторениями
Проверь себя!1) Сколькими способами можно
делегировать троих студентов на
межвузовскую конференцию из 9 членов
научного общества?
РЕШЕНИЕ
Пример использования
Проверь себя!2) Десять участников конференции
обменялись рукопожатиями, пожав руку
каждому. Сколько всего рукопожатий было
сделано?
РЕШЕНИЕ
Решение задачи
Проверь себя!3) В школьном хоре 6 девочек и 4 мальчика.
Сколькими способами можно выбрать из
состава школьного хора 2 девочек и 1 мальчика
для участия в выступлении окружного хора?
РЕШЕНИЕ
Проверь себя!
4) Сколькими способами можно выбрать 3спортсменов из группы в 20 человек для
участия в соревнованиях?
РЕШЕНИЕ
Проверь себя!
5) В классе 10 учебных предметов и 5 разныхуроков в день. Сколькими способами могут
быть распределены уроки в один день?
РЕШЕНИЕ
Проверь себя!
Сочетания с повторениямиОпределение
Сочетаниями с повторениями из m по
n называют соединения, состоящие из n
элементов, выбранных из элементов m
разных видов, и отличающиеся одно от
другого хотя бы одним элементом.
Число сочетаний из m по n
обозначают
Проверь себя!
Сочетания с повторениямиЕсли из множества, содержащего n элементов, выбирается
поочередно m элементов, причём выбранный элемент
каждый раз возвращается обратно, то количество способов
произвести неупорядоченную выборку – число сочетаний с
повторениями – составляет
Проверь себя!
Историческая справкаКрупнейший индийский математик
Бхаскара Акария (1114–1185) также
изучал различные виды комбинаторных
соединений. Ему принадлежит трактат
"Сидханта–Широмани" ("Венец учения"),
переписанный в XIII в. на полосках
пальмовых листьев. В нём автор дал
словесные правила для нахождения
и
,указав их применения и поместив
многочисленные примеры
Проверь себя!
Пример использованияЗадача №1
Сколько наборов из 7 пирожных
можно составить, если в распоряжении
имеются 4 сорта пирожных?
Решение:
Проверь себя!
Пример использованияЗадача №2
Сколько костей находится в обычной
игре "домино"?
Решение: Кости домино можно рассматривать как
сочетания с повторениями по две из семи цифр
множества (0,1,2,3,4,5,6).
Число всех таких
сочетаний равно
Проверь себя!
Проверь себяЗадача 1.
В буфете Гимназии продаются 5 сортов
пирожков: с яблоками, с капустой,
картошкой, мясом и грибами. Скольким
числом способов можно сделать покупку из
10 пирожков?
РЕШЕНИЕ
Сочетания
Проверь себяЗадача 2.
В коробке лежат шары трех цветов-
красного, синего и зеленого. Сколькими
способами можно составить набор из двух
шаров?
РЕШЕНИЕ
Сочетания
Проверь себяЗадача 3.
Сколькими способами можно выбрать 4
монеты из четырех пятикопеечных монет и из
четырех двухкопеечных монет?
РЕШЕНИЕПроверь себя
Задача 4.
Сколько будет костей домино,
если в их
образовании использовать все цифры?
РЕШЕНИЕПроверь себя
Задача 5.
Палитра юного импрессиониста состоит из 8
различных красок. Художник берет кистью
наугад любую из красок и ставит цветное
пятно на ватмане. Затем берет следующую
кисть, окунает её в любую из красок и делает
второе пятно по соседству. Сколько
различных комбинаций существует для
шести пятен?
РЕШЕНИЕИспользуемая литература
Алгебра и начала математического
анализа.11 класс/ Ю.М.Колягин, М.В.Ткачева,
Н.Е.Федорова, М.И.Шабунин. –
М.:Просвещение, 2011.
Виленкин Н.Я. Комбинаторика. – М., 1969
Виленкин Н.Я. Комбинаторика. – МЦМНО,
2010
ru.wikipedia.org›wiki/История комбинаторики
Именины василисы в церковном календаре добавить свою цену в базу комментарий Есть ли святая василиса
церкви спасская и казанской иконы божией матери
Все о салатах, которые готовят в Испании летом Салат с тунцом
Любимый домашний десерт: хрустящие вафли, как в детстве
Рецепт приготовления горячего свекольника Приготовление свекольника как в детском саду