Sviluppati, ottusi, verticali e non sviluppati: tipi di angoli della geometria. Concetto e tipi di angoli Figure all'intersezione di rette

Questo articolo discuterà una delle forme geometriche di base: un angolo. Dopo un'introduzione generale a questo concetto, ci concentreremo su un tipo specifico di tale figura. L'angolo retto è un concetto importante in geometria, che sarà l'argomento principale di questo articolo.

Introduzione all'angolo geometrico

In geometria ci sono una serie di oggetti che costituiscono la base di tutta la scienza. Ad essi si riferisce l'angolo ed è definito utilizzando il concetto di raggio, quindi cominciamo da esso.

Inoltre, prima di iniziare a determinare l'angolo stesso, è necessario ricordare diversi oggetti ugualmente importanti in geometria: questo è un punto, una linea retta su un piano e il piano stesso. Una linea retta è la figura geometrica più semplice che non ha né inizio né fine. Un piano è una superficie che ha due dimensioni. Ebbene, un raggio (o semiretta) in geometria è una parte di una linea che ha un inizio, ma non una fine.

Utilizzando questi concetti, possiamo affermare che un angolo è una figura geometrica che giace interamente su un determinato piano e consiste di due raggi divergenti con un'origine comune. Tali raggi si chiamano lati di un angolo, e l'inizio comune dei lati è il suo vertice.

Tipi di angoli e geometria

Sappiamo che gli angoli possono essere completamente diversi. Pertanto, poco sotto ci sarà una piccola classificazione che ti aiuterà a comprendere meglio i tipi di angoli e le loro caratteristiche principali. Quindi, ci sono diversi tipi di angoli in geometria:

1. Angolo retto. È caratterizzato da un valore di 90 gradi, il che significa che i suoi lati sono sempre perpendicolari tra loro.
2. Angolo acuto. Questi angoli includono tutti i loro rappresentanti di dimensione inferiore a 90 gradi.
3. Angolo ottuso. Qui possono esserci tutti gli angoli compresi tra 90 e 180 gradi.
4. Angolo spiegato. Ha una dimensione rigorosamente di 180 gradi ed esternamente i suoi lati formano un'unica linea retta.

Il concetto di angolo retto

Ora esaminiamo l'angolo ruotato in modo più dettagliato. Questo è il caso in cui entrambi i lati giacciono sulla stessa retta, come si vede chiaramente nella figura un po' più in basso. Ciò significa che possiamo dire con sicurezza che in un angolo invertito, uno dei suoi lati è essenzialmente la continuazione dell'altro.

Vale la pena ricordare il fatto che tale angolo può sempre essere diviso utilizzando un raggio che emerge dal suo vertice. Di conseguenza, otteniamo due angoli, che in geometria sono chiamati adiacenti.

Inoltre, l'angolo spiegato ha diverse caratteristiche. Per parlare del primo, è necessario ricordare il concetto di "bisettrice dell'angolo". Ricordiamo che questo è un raggio che divide qualsiasi angolo esattamente a metà. Quanto all'angolo aperto, la sua bisettrice lo divide in modo tale da formare due angoli retti di 90 gradi. Questo è molto facile da calcolare matematicamente: 180˚ (gradi dell'angolo ruotato): 2 = 90˚.

Se dividiamo un angolo ruotato con un raggio completamente arbitrario, di conseguenza otteniamo sempre due angoli, uno dei quali sarà acuto e l'altro ottuso.

Proprietà degli angoli ruotati

Sarà conveniente considerare quest'angolo riunendo tutte le sue proprietà principali, ed è ciò che abbiamo fatto in questo elenco:

1. I lati dell'angolo ruotato sono antiparalleli e formano una linea retta.
2. L'angolo ruotato è sempre di 180˚.
3. Due angoli adiacenti insieme formano sempre un angolo piatto.
4. Un angolo intero, che misura 360˚, è formato da due angoli spiegati ed è uguale alla loro somma.
5. La metà di un angolo piatto è un angolo retto.

Quindi, conoscendo tutte queste caratteristiche di questo tipo di angoli, possiamo usarle per risolvere una serie di problemi geometrici.

Problemi con gli angoli ruotati

Per vedere se hai afferrato il concetto di angolo retto, prova a rispondere alle seguenti domande.

1. Qual è il modulo di un angolo piatto se i suoi lati formano una linea verticale?
2. Due angoli saranno adiacenti se il primo è 72° e l'altro è 118°?
3. Se un angolo completo è formato da due angoli inversi, quanti angoli retti ha?
4. Un angolo piatto è diviso da un raggio in due angoli tali che le loro misure dei gradi siano nel rapporto 1:4. Calcola gli angoli risultanti.

Soluzioni e risposte:

1. Non importa come si trova l'angolo ruotato, è sempre, per definizione, uguale a 180˚.
2. Gli angoli adiacenti hanno un lato in comune. Pertanto, per calcolare l'ampiezza dell'angolo che formano insieme, basterà sommare il valore delle loro misure in gradi. Ciò significa 72 +118 = 190. Ma per definizione, un angolo invertito è 180˚, il che significa che due angoli dati non possono essere adiacenti.
3. Un angolo piatto contiene due angoli retti. E poiché quello completo ne ha due spiegati, significa che ci saranno 4 linee rette.
4. Se chiamiamo aeb gli angoli desiderati, sia x il loro coefficiente di proporzionalità, il che significa che a=x e di conseguenza b=4x. L'angolo ruotato in gradi è 180˚. E secondo la sua proprietà secondo cui la misura in gradi di un angolo è sempre uguale alla somma delle misure in gradi di quegli angoli in cui è diviso da qualsiasi raggio arbitrario che passa tra i suoi lati, possiamo concludere che x + 4x = 180˚ , che significa 5x = 180˚ . Da qui troviamo: x = a = 36˚ e b = 4x = 144˚. Risposta: 36˚ e 144˚.

Se sei riuscito a rispondere a tutte queste domande senza suggerimenti e senza sbirciare le risposte, allora sei pronto per passare alla lezione successiva di geometria.

Cominciamo definendo cos'è un angolo. In primo luogo è formato da due raggi, che si chiamano lati dell'angolo. In terzo luogo, questi ultimi emergono da un punto, che si chiama vertice dell'angolo. Sulla base di queste caratteristiche, possiamo creare una definizione: un angolo è una figura geometrica composta da due raggi (lati) che emergono da un punto (vertice).

Sono classificati in base al valore del grado, alla posizione relativa l'uno rispetto all'altro e rispetto al cerchio. Cominciamo con i tipi di angoli in base alla loro grandezza.

Ne esistono diverse varietà. Diamo uno sguardo più da vicino a ciascun tipo.

Esistono solo quattro tipi principali di angoli: angoli retti, ottusi, acuti e retti.

Diretto

Sembra questo:

La sua misura in gradi è sempre 90°, in altre parole un angolo retto è un angolo di 90 gradi. Li hanno solo i quadrilateri come il quadrato e il rettangolo.

Smussare

Sembra questo:

La misura dei gradi è sempre superiore a 90°, ma inferiore a 180°. Può essere trovato nei quadrilateri come un rombo, un parallelogramma arbitrario e nei poligoni.

Speziato

Sembra questo:

La misura in gradi di un angolo acuto è sempre inferiore a 90°. Si trova in tutti i quadrilateri tranne il quadrato e qualsiasi parallelogramma.

Espanso

L'angolo spiegato è simile a questo:

Non si verifica nei poligoni, ma non è meno importante di tutti gli altri. Un angolo retto è una figura geometrica la cui misura dei gradi è sempre 180º. Puoi costruire su di esso disegnando uno o più raggi dalla sua sommità in qualsiasi direzione.

Esistono molti altri tipi minori di angoli. Non vengono studiati nelle scuole, ma è necessario almeno conoscere la loro esistenza. Esistono solo cinque tipi secondari di angoli:

1. Zero

Sembra questo:

Il nome stesso dell'angolo indica già la sua dimensione. La sua area interna è 0° e i lati sono uno sopra l'altro come mostrato in figura.

2. Obliquo

Un angolo obliquo può essere un angolo retto, un angolo ottuso, un angolo acuto o un angolo retto. La sua condizione principale è che non dovrebbe essere uguale a 0 o, 90 o, 180 o, 270 o.

3. Convesso

Gli angoli convessi sono angoli zero, retti, ottusi, acuti e retti. Come hai già capito, la misura in gradi di un angolo convesso va da 0 o a 180 o.

4. Non convesso

Gli angoli con misure in gradi da 181° a 359° compresi non sono convessi.

5. Pieno

Un angolo completo è 360 gradi.

Questi sono tutti i tipi di angoli in base alla loro grandezza. Ora diamo un'occhiata ai loro tipi in base alla loro posizione sul piano l'uno rispetto all'altro.

1. Aggiuntivo

Questi sono due angoli acuti che formano una linea retta, cioè la loro somma è 90 o.

2. Adiacente

Angoli adiacenti si formano se un raggio passa attraverso l'angolo spiegato, o meglio attraverso il suo vertice, in qualsiasi direzione. La loro somma è 180 o.

3. Verticale

Gli angoli verticali si formano quando due linee rette si intersecano. Le loro misure di laurea sono uguali.

Passiamo ora ai tipi di angoli situati rispetto al cerchio. Ce ne sono solo due: centrale e iscritto.

1. Centrale

Un angolo al centro è un angolo con il vertice al centro del cerchio. La sua misura in gradi è uguale alla misura in gradi dell'arco minore sotteso dai lati.

2. Iscritto

Un angolo inscritto è un angolo il cui vertice giace su una circonferenza e i cui lati la intersecano. La sua misura in gradi è pari alla metà dell'arco su cui poggia.

Questo è tutto per gli angoli. Ora sai che oltre a quelli più famosi - acuti, ottusi, dritti e schierati - ne esistono molti altri tipi in geometria.

Un angolo è una figura geometrica composta da due raggi diversi provenienti da un punto. In questo caso questi raggi sono chiamati lati dell'angolo. Il punto che costituisce l'inizio dei raggi si chiama vertice dell'angolo. Nell'immagine puoi vedere l'angolo con il vertice nel punto DI e i partiti k E M.

I punti A e C sono segnati sui lati dell'angolo. Questo angolo può essere designato come angolo AOC. Al centro deve esserci il nome del punto in cui si trova il vertice dell'angolo. Esistono anche altre designazioni, angolo O o angolo km. In geometria, invece della parola angolo, viene spesso scritto un simbolo speciale.

Angolo sviluppato e non espanso

Se entrambi i lati di un angolo giacciono sulla stessa retta, si chiama angolo tale ampliato angolo. Cioè, un lato dell'angolo è una continuazione dell'altro lato dell'angolo. La figura seguente mostra l'angolo espanso O.

Va notato che qualsiasi angolo divide l'aereo in due parti. Se l'angolo non è spiegato, una delle parti è chiamata regione interna dell'angolo e l'altra regione esterna di questo angolo. La figura seguente mostra un angolo non sviluppato e segna le regioni esterna ed interna di questo angolo.

Nel caso di un angolo sviluppato, ciascuna delle due parti in cui divide il piano può essere considerata la regione esterna dell'angolo. Possiamo parlare della posizione di un punto rispetto ad un angolo. Un punto può trovarsi all'esterno dell'angolo (nella regione esterna), può trovarsi su uno dei suoi lati oppure può trovarsi all'interno dell'angolo (nella regione interna).

Nella figura seguente, il punto A si trova all'esterno dell'angolo O, il punto B si trova su un lato dell'angolo e il punto C si trova all'interno dell'angolo.

Misurare gli angoli

Per misurare gli angoli esiste un dispositivo chiamato goniometro. L'unità dell'angolo è grado. Va notato che ogni angolo ha una certa misura in gradi, che è maggiore di zero.

A seconda della misura del grado, gli angoli sono divisi in diversi gruppi.

Gli studenti vengono introdotti al concetto di angolo nella scuola elementare. Ma come figura geometrica che ha determinate proprietà, iniziano a studiarla dalla 7a elementare di geometria. Sembra, una figura piuttosto semplice, cosa si può dire di lei. Ma, acquisendo nuove conoscenze, gli scolari capiscono sempre più che possono apprendere fatti piuttosto interessanti al riguardo.

Quando studiato

Il corso di geometria scolastica è diviso in due sezioni: planimetria e stereometria. In ognuno di essi c'è una notevole attenzione è dato agli angoli:

• Nella planimetria viene dato il loro concetto di base e viene fatta un'introduzione alle loro tipologie per dimensione. Le proprietà di ciascun tipo di triangolo sono studiate in modo più dettagliato. Stanno emergendo nuove definizioni per gli studenti: si tratta di figure geometriche formate dall'intersezione di due linee rette tra loro e dall'intersezione di più linee rette con trasversali.
• Nella stereometria vengono studiati gli angoli spaziali: diedro e triodro.

Attenzione! Questo articolo discute tutti i tipi e le proprietà degli angoli in planimetria.

Definizione e misurazione

Quando inizi a studiare, determina prima cos'è un angolo nella planimetria.

Se prendiamo un certo punto sul piano e ne traiamo due raggi arbitrari, otteniamo una figura geometrica - un angolo, costituito dai seguenti elementi:

• vertice: il punto da cui sono stati disegnati i raggi, indicato con una lettera maiuscola dell'alfabeto latino;
• i lati sono semirette tracciate dal vertice.

Tutti gli elementi che compongono la figura che stiamo considerando dividono il piano in due parti:

• interno - in planimetria non supera i 180 gradi;
• esterno.

Il principio della misurazione degli angoli in planimetria spiegato in modo intuitivo. Per cominciare, agli studenti viene introdotto il concetto di angolo ruotato.

Importante! Un angolo si dice sviluppato se le semirette provenienti dal suo vertice formano una retta. L'angolo non sviluppato è tutti gli altri casi.

Se è diviso in 180 parti uguali, è consuetudine considerare la misura di una parte pari a 10. In questo caso, si dice che la misurazione viene effettuata in gradi e la misura in gradi di tale cifra è 180 gradi.

Tipi principali

I tipi di angoli sono divisi in base a criteri quali gradi, natura della loro formazione e categorie presentate di seguito.

Per dimensione

Tenendo conto della grandezza, gli angoli sono divisi in:

• ampliato;
• diretto;
• smussare;
• speziato.

L'angolo chiamato aperto è stato presentato sopra. Definiamo il concetto di diretto.

Si ottiene dividendo l'espanso in due parti uguali. In questo caso è facile rispondere alla domanda: quanti gradi è un angolo retto?

Dividi 180 gradi di spiegato per 2 e otteniamo questo un angolo retto è di 90 gradi. Questa è una figura meravigliosa, poiché ad essa sono collegati molti fatti geometrici.

Ha anche le sue caratteristiche nella designazione. Per mostrare un angolo retto nella figura, è indicato non con un arco, ma con un quadrato.

Gli angoli che si ottengono dividendo una retta per un raggio arbitrario si dicono acuti. Logicamente ne consegue che un angolo acuto è minore di un angolo retto, ma la sua misura è diversa da 0 gradi. Cioè, ha un valore da 0 a 90 gradi.

Un angolo ottuso è maggiore di un angolo retto, ma minore di un angolo piatto. La sua misura di grado varia da 90 a 180 gradi.

Questo elemento può essere suddiviso nelle diverse tipologie di figure in esame, esclusa quella espansa.

Indipendentemente da come viene diviso l'angolo non ruotato, viene sempre utilizzato l'assioma fondamentale della planimetria: "la proprietà fondamentale della misurazione".

A dividere un angolo con un raggio o più, la misura in gradi di una data figura è uguale alla somma delle misure degli angoli in cui è divisa.

Al livello 7° elementare, i tipi di angoli in base alla loro dimensione finiscono qui. Ma per aumentare l'erudizione possiamo aggiungere che esistono altre varietà che hanno una misura di grado maggiore di 180 gradi e si chiamano convesse.

Figure all'intersezione di linee

I successivi tipi di angoli a cui vengono presentati gli studenti sono elementi formati dall'intersezione di due linee rette. Le figure poste una di fronte all'altra sono chiamate verticali. La loro caratteristica distintiva è che sono uguali.

Gli elementi adiacenti alla stessa linea si dicono adiacenti. Lo dice il teorema che riflette la loro proprietà la somma degli angoli adiacenti dà come risultato 180 gradi.

Elementi in un triangolo

Se consideriamo la figura come un elemento di un triangolo, gli angoli sono divisi in interni ed esterni. Un triangolo è delimitato da tre segmenti ed è formato da tre vertici. Gli angoli situati all'interno del triangolo in ciascun vertice sono chiamato interno.

Se prendiamo un qualsiasi elemento interno in qualsiasi vertice e allunghiamo qualsiasi lato, allora l'angolo che si forma ed è adiacente a quello interno si dice esterno. Questa coppia di elementi ha la seguente proprietà: la loro somma è pari a 180 gradi.

Intersezione di due rette

Intersezione di linee

Quando due rette si intersecano con una trasversale si formano anche degli angoli., che di solito sono distribuiti in coppia. Ogni coppia di elementi ha il proprio nome. Sembra questo:

• disposizione trasversale interna: ∟4 e ∟6, ∟3 e ∟5;
• unilaterale interno: ∟4 e ∟5, ∟3 e ∟6;
• corrispondenti: ∟1 e ∟5, ∟2 e ∟6, ∟4 e ∟8, ∟3 e ∟7.

Nel caso in cui una secante interseca due linee, tutte queste coppie di angoli hanno determinate proprietà:

1. La disposizione trasversale interna e le figure corrispondenti sono uguali tra loro.
2. Gli elementi unidirezionali interni si sommano fino a 180 gradi.

Studiamo gli angoli in geometria, le loro proprietà

Tipi di angoli in matematica

Conclusione

In questo articolo vengono presentati tutti i principali tipi di angoli che si trovano in planimetria e vengono studiati in seconda media. In tutti i corsi successivi le proprietà relative a tutti gli elementi considerati costituiscono la base per l'approfondimento della geometria. Ad esempio, quando studierai, dovrai ricordare tutte le proprietà degli angoli formati quando due linee parallele si intersecano con una trasversale. Quando si studiano le caratteristiche dei triangoli, è necessario ricordare quali sono gli angoli adiacenti. Passando alla stereometria, tutte le figure volumetriche verranno studiate e costruite sulla base delle figure planimetriche.